Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} a^{11} & a^{12} & a^{13} \\ a^{21} & a^{22} & a^{23} \\ a^{31} & a^{32} & a^{33} \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$a^{11} | \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$a^{11} | \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} | - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2

Évaluez

$| \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{11} (a^{22} a^{33} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$a^{22}$ par

$a^{33}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} (a^{22 + 33} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.2

Additionnez

$22$ et

$33$ .

$a^{11} (a^{55} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$a^{32}$ par

$a^{23}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Déplacez

$a^{23}$ .

$a^{11} (a^{55} - (a^{23} a^{32})) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} (a^{55} - a^{23 + 32}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez

$23$ et

$32$ .

$a^{11} (a^{55} - a^{55}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez

$a^{55}$ de

$a^{55}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{21} a^{33} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Multipliez

$a^{21}$ par

$a^{33}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{21 + 33} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.1.1.2

Additionnez

$21$ et

$33$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

$a^{31}$ par

$a^{23}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1

Déplacez

$a^{23}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - (a^{23} a^{31})) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{23 + 31}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.3

Additionnez

$23$ et

$31$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{54}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez

$a^{54}$ de

$a^{54}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{21} a^{32} - a^{31} a^{22})$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez

$a^{21}$ par

$a^{32}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{21 + 32} - a^{31} a^{22})$

Étape 4.2.1.1.2

Additionnez

$21$ et

$32$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{31} a^{22})$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$a^{31}$ par

$a^{22}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Déplacez

$a^{22}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - (a^{22} a^{31}))$

Étape 4.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{22 + 31})$

Étape 4.2.1.2.3

Additionnez

$22$ et

$31$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{53})$

Étape 4.2.2

Soustrayez

$a^{53}$ de

$a^{53}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} \cdot 0$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Multipliez

$a^{11}$ par

$0$ .

$0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} \cdot 0$

Étape 5.1.2

Multipliez

$- a^{12} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$0 + 0 a^{12} + a^{13} \cdot 0$

Étape 5.1.2.2

Multipliez

$0$ par

$a^{12}$ .

$0 + 0 + a^{13} \cdot 0$

Étape 5.1.3

Multipliez

$a^{13}$ par

$0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 5.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$0 + 0$

Étape 5.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$0$