Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} a^{11} & a^{12} & a^{13} \\ a^{21} & a^{22} & a^{23} \\ a^{31} & a^{32} & a^{33} \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a^{11} | \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$a^{11} | \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} | - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{11} (a^{22} a^{33} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $a^{22}$ par $a^{33}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} (a^{22 + 33} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.2

Additionnez $22$ et $33$ .

$a^{11} (a^{55} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $a^{32}$ par $a^{23}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Déplacez $a^{23}$ .

$a^{11} (a^{55} - (a^{23} a^{32})) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} (a^{55} - a^{23 + 32}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez $23$ et $32$ .

$a^{11} (a^{55} - a^{55}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez $a^{55}$ de $a^{55}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{21} a^{33} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $a^{21}$ par $a^{33}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{21 + 33} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.1.1.2

Additionnez $21$ et $33$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $a^{31}$ par $a^{23}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1

Déplacez $a^{23}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - (a^{23} a^{31})) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{23 + 31}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.3

Additionnez $23$ et $31$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{54}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $a^{54}$ de $a^{54}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{21} a^{32} - a^{31} a^{22})$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $a^{21}$ par $a^{32}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{21 + 32} - a^{31} a^{22})$

Étape 4.2.1.1.2

Additionnez $21$ et $32$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{31} a^{22})$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $a^{31}$ par $a^{22}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1

Déplacez $a^{22}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - (a^{22} a^{31}))$

Étape 4.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{22 + 31})$

Étape 4.2.1.2.3

Additionnez $22$ et $31$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{53})$

Étape 4.2.2

Soustrayez $a^{53}$ de $a^{53}$ .

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} \cdot 0$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $a^{11}$ par $0$ .

$0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} \cdot 0$

Étape 5.1.2

Multipliez $- a^{12} \cdot 0$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 0 a^{12} + a^{13} \cdot 0$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $0$ par $a^{12}$ .

$0 + 0 + a^{13} \cdot 0$

Étape 5.1.3

Multipliez $a^{13}$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$